Kidolgozott feladatok

1. példa
Egy  várható értékű és  varianciájú normális eloszlásból 9 elemű mintát veszünk. Számítsuk ki, milyen szimmetrikus intervallumban lesz 95 %-os valószínűséggel a minta átlagértéke!
Megoldás

;	

2. példa
Számítsuk ki, hogy az előző példa szerinti minta korrigált tapasztalati szórásnégyzete milyen alsó és felső határ közé esik 95 %-os szimmetrikus valószínűséggel!
Megoldás

;  

;	   

3. példa
Egy normális eloszlásból vett 9 elemű minta elemeinek átlagértéke , szórásnégyzete . Milyen szimmetrikus intervallumban van 95 %-os valószínűséggel a sokaság  várható értéke (ún. konfidencia-intervalluma)?
Megoldás
;		;	

4. példa
Egyazon normális eloszlású sokaságból két mintát veszünk. Az első 6 elemű, a második 10 elemű. Milyen szimmetrikus intervallumban lesz a két szórásnégyzet hányadosa 90 %-os valószínűséggel?

Megoldás
;	;	

5. példa
Két független, normális eloszlásból vett mintánk van, az egyik 11 elemű, korrigált tapasztalati szórásnégyzete 0.76; a másik 14 elemű, szórásnégyzete 0.38. Megvizsgálandó  = 0.05 szignifikanciaszinten, hogy a varianciák egyenlők-e, vagy pedig az első minta nagyobb varianciájú normális eloszlásból származik-e.
Megoldás
;	;	;	;
	Elfogadjuk a nullhipotézist .

6. példa
Két független, normális eloszlásból vett mintánk van, az egyik 9 elemű, szórásnégyzete 14.4; a másik 6 elemű, szórásnégyzete 20.5. Megvizsgálandó 0.1-es szignifikanciaszinten, hogy a varianciák egyenlők-e vagy nem.
Megoldás
;	;	;	;
	Elfogadjuk a nullhipotézist .

7. példa
Normális eloszlású sokaságból vett 17 elemű minta szórásnégyzete 0.24. Megvizsgálandó 
 = 0.05 szignifikanciaszinten, hogy a variancia értéke legfeljebb 0.18.
Megoldás
;	;	;
;	ha  igaz,  jobbra eltolódik, tehát egyoldali fölső határa van a nullhipotézis elfogadási tartományának: .
	Elfogadjuk a nullhipotézist .

8. példa
Egy automata gépen készülő alkatrészek jellemző méretére a következő adatokat mérték (zárójelben az előfordulások száma):
 3.0 (2);	 3.5 (6);	 3.8 (9);	 4.4 (7);	 4.5 (1) 	
Az előírás szerint a gyártás bizonytalanságára jellemző variancia a  értéket nem haladhatja meg. Megvizsgálandó 0.05-os szignifikanciaszinten, hogy ez a követelmény teljesül-e.
Megoldás
;	;		
;	;
ha  igaz,  jobbra eltolódik, tehát egyoldali fölső határa van a nullhipotézis elfogadási tartományának: .
	Elutasítjuk a nullhipotézist .

9. példa
Ismert varianciájú ( 2 = 1600) normális eloszlású sokaságból vett 64 elemű minta elemeinek középértéke 136.5. Megvizsgálandó 0.01-os szignifikanciaszinten az a feltételezés, hogy a sokaság várható értéke 130.
Megoldás
;	;	;	;
	Elfogadjuk a nullhipotézist .

10. példa
Két független minta (x és y) adatai a következők (zárójelben az előfordulások száma):
x: 	3.4 (2);	3.5 (3);	3.7 (4);	3.9 (1)	 	
y: 	3.2 (2);	3.4 (2);	3.6 (8);		 	
Vizsgáljuk meg 0.025-es szignifikanciaszinten, hogy a két minta mögött álló sokaság várható értéke egyenlő-e vagy nem. (Először F-próbát kell végezni a varianciák egyenlőségére!)
Megoldás
Kétmintás t-próba!
;	;	;	;	;	;
; 
; 
.	Elfogadjuk a nullhipotézist .

11. példa
A két független minta (x és y) adatai a következők (zárójelben az előfordulások száma):
x: 	12.3 (1);	12.5 (2);	12.8 (4);	13.0 (2);	13.5 (1)	
y: 	12.2 (6);	12.3 (8);	13.0 (2)		 	
Döntsük el 0.05-os szignifikanciaszinten, hogy a két minta mögött álló sokaság várható értéke megegyezik-e, vagy az x változó mögötti sokaságé nagyobb. (Először F-próbát kell végezni a varianciák egyenlőségére!) 
Megoldás
Kétmintás t-próba!
;	;	;	;	;	;
; ha  igaz, , tehát a próbastatisztika jobbra eltolódik, ezért egyoldali fölső határa van a nullhipotézis elfogadási tartományának: .

; 
Elutasítjuk a nullhipotézist .

12. példa
Ugyanabban a sorrendben elemeztek 8 mintát kétféle módszerrel. Az eredmények (a fölső sorban az egyik módszerrel kapott x adatok, alattuk a másik módszerrel kapott y adatok):
	1	2	3	4	5	6	7	8	
x: 	15	20	16	22	24	14	18	20	
y: 	15	22	14	25	29	16	20	24	
Megvizsgálandó 0.05-os szignifikanciaszinten, hogy a két módszer nem torzít-e egymáshoz képest!
Megoldás
Páros t-próba!
;	;	;	;	;	;
;	; Elutasítjuk a nullhipotézist .

13. példa